求不定積分方法總結

　　總結是把一定階段內的有關情況分析研究，做出有指導性結論的書面材料，它是增長才干的一種好辦法，不如立即行動起來寫一份總結吧�？偨Y怎么寫才是正確的呢？下面是小編為大家整理的求不定積分方法總結，歡迎閱讀與收藏。

　　1、不定積分的線性性

　　成立的前提是，f和g都有不定積分！

　　這個性質在計算不定積分時，經常用！一般都是把難計算的不定積分，轉化為一個個容易計算的不定積分。例題就不說了，看書。

　　2、分部積分法

　　這是一個很有效的計算積分的辦法！一定要掌握！

　　從本師的教學經驗來看，初學者往往在兩個地方犯難：

　�。�1）不知道怎么湊微分

　　（2）不知道把誰當u，誰當v

　　3、有理函數的積分

　　有理函數的積分，是一類常見的不定積分。它有一套通用的辦法求解，并且很多不定積分，經過適當的換元后，可以轉化成有理函數的不定積分來計算！所以，這種類型的不定積分，一定要掌握！

　　其中P和Q是x的多項式函數。

　　這個類型的積分，主要是通過拆項，化成簡單的不定積分來計算。

　　下面的步驟，其實就是教你怎么拆項。

　　(1)用輾轉相除法，將被積函數化成一個多項式和“真分式”的和：

　　(2)h(x)是多項式函數，積分不要太簡單！現在就是要計算右邊這個積分了。

　　(3)對Q(x)因式分解。因為我們考慮的是實系數多項式，多項式Q(x)一定能分解成下面兩種類型的因子的乘積：

　　(4)利用待定系數法，將r/Q拆分，拆成簡單的分式的和。

　　舉例說明：

　　然后，右邊同分，比較等式兩邊分子的系數。

　　這樣就會得到待定系數的一個一次方程組，解之（非常簡單），算出待定系數。

　　4、第一類換元（湊分法）u=g(x)，主要是要記牢常見的求導公式，然后多從右往左看。

　　5、第二類換元，x=u(t)

　　要注意，u(t)必須是單調的！所以一般要指明t的取值范圍。這里，換元的技巧非常多，本師也只掌握了其中一些常用的。

　　(1)倒代換x=1/t

　　使用的對象特征很明顯

　　來個例子

　　t<0時，類似處理，最后再下結論。

　　(2)

　　這種形狀的積分，直接換元掉根號。

　　例子說明一切

　　(3)三角換元

　　這是讓大家又愛又恨的積分法。愛是因為它實在是太好用了，恨是因為它實在是太多選擇太多恒等變化了！

　　這種情況，用合適的三角函數去換元。注意，換元的目的，在這里是為了去掉根號，以便達到簡化被積函數的目的。知道這一點，你就知道如何選擇三角函數了。另外，注意新變量的取值范圍，以保證單調性。

　　書上有太多這樣的例題，這里不列舉了。

　　下面主要和大家分享下三角函數有理式（三角函數的乘除）的計算技巧。

　　(i)遇奇次冪，拿一個出來，湊到微分里

　　(ii)都是偶數次冪，倍角公式降冪

　　(iii)積化和差公式

　　(iv)當三角函數冪次較低時，使用萬能公式換元

　　(v)配湊法

　　解之，得I_1，I_2.

　　不定積分

　　1、原函數存在定理

　　定理如果函數f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導函數F（x），使對任一x∈I都有F’（x）=f(x)；簡單的說連續(xù)函數一定有原函數。

　　分部積分法

　　如果被積函數是冪函數和正余弦或冪函數和指數函數的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數和指數函數為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數的冪降低一次。如果被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就可設對數和反三角函數為u。

　　2、對于初等函數來說，在其定義區(qū)間上，它的原函數一定存在，但原函數不一定都是初等函數。

　　定積分

　　1、定積分解決的典型問題

　�。�1）曲邊梯形的面積

　　（2）變速直線運動的路程

　　2、函數可積的充分條件

　　定理設f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，即連續(xù)=>可積。

　　定理設f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積。

　　3、定積分的若干重要性質

　　性質如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

　　推論如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

　　推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

　　性質設M及m分別是函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a），該性質說明由被積函數在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

　　性質（定積分中值定理）如果函數f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

　　4、關于廣義積分

　　設函數f(x)在區(qū)間[a，b]上除點c（a<c<b）外連續(xù)，而在點c的鄰域內無界，如果兩個廣義積分∫acf(x)dx與∫cbf(x)dx都收斂，則定義∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，否則（只要其中一個發(fā)散）就稱廣義積分∫abf(x)dx發(fā)散。

　　定積分的應用

　　1求平面圖形的面積（曲線圍成的面積）

　　直角坐標系下（含參數與不含參數）

　　極坐標系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）(扇形面積公式S=R2θ/2)

　　旋轉體體積（由連續(xù)曲線直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉而成）（且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程）

　　平行截面面積為已知的立體體積（V=∫abA（x）dx，其中A（x）為截面面積）

　　功水壓力引力

　　函數的平均值（平均值y=1/(b-a)x∫abf(x)dx）

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